Dérivation — applications à l'optimisation

On cherche les valeurs de x où f'(x) = 0, puis on vérifie le signe de f' autour de ces points.

Changement de signe de f'	Nature de l'extremum
+ puis −	Maximum local
− puis +	Minimum local

f(x) = x − 15 + 400/x sur [5 ; 60]

f'(x) = 1 − 400/x² = (x² − 400) / x²

f'(x) = 0 ⇔ x² = 400 ⇔ x = 20 (x > 0)

Pour x < 20 : x² < 400 donc f'(x) < 0 (décroissante)

Pour x > 20 : x² > 400 donc f'(x) > 0 (croissante)

f admet un minimum en x = 20 : f(20) = 20 − 15 + 20 = 25 centaines d'euros.

B(x) = −15x³ + 120x² + 180x − 750 sur [1 ; 10]

B'(x) = −45x² + 240x + 180 = −45(x² − (16/3)x − 4)

Les racines de B' sont x = −2/3 et x = 6 (admises).

Sur [1 ; 10] : B' > 0 sur [1 ; 6] et B' < 0 sur [6 ; 10].

Le bénéfice est maximal en x = 6 : B(6) = 1 410 €.

Ce qu'on lit	Comment
f'(x) ≤ 0 sur [a ; b]	f décroissante sur [a ; b]
Extremum en x₀	f'(x₀) = 0 et changement de signe
Maximum de f sur [a ; b]	Comparer f(a), f(b) et les extremums locaux

Révision — Dérivation